Σπαζοκεφαλιές

Οι σπαζοκεφαλιές:

• Κατεργάρικα Μουλάρια
• Μια πρόκληση του Tangram
• Αρνιά και κατσίκια
• Ο ελέφαντας και το ποντίκι στην τραμπάλα
• Κάντε τα όλα ίδια!
• Εγώ και η αδελφή μου πόσες μπίλιες έχουμε;(ΝΕΟ!!)

Κατεργάρικα Μουλάρια

Αρχή της σελίδας

Μια πρόκληση του Tangram.

Αριστερά, χωρίσαμε ένα τετράγωνο σε εφτά κομμάτια (πέντε τρίγωνα, ένα τετράγωνο και ένα παραλληλόγραμμο.) Αφού τα κόψετε, προσπαθήστε

να τα αναδιατάξετε ώστε να σχηματιστεί το εικονιζόμενο «παραλληλόγραμμο» δεξιά. Προσοχή όμως! Πρέπει να χρησιμοποιήσετε και τα 7 κομμάτια χωρίς επικαλύψεις!

Σχόλιο: Το tangram είναι ένα αρχαίο κινέζικο παιχνίδι ευφυΐας, όπου με τα συγκεκριμένα εφτά κομμάτια κατασκευάζεται μεγάλο πλήθος σχημάτων και φιγούρων.

Λύση

Αρχή της σελίδας

Αρνιά και Κατσίκια

• Κάθε φορά κινείται μόνο ένα αντικείμενο και τοποθετείται στο κενό τετράγωνο.
• Τα αρνιά κινούνται μόνο προς τα δεξιά και τα κατσίκια μόνο προς τα αριστερά.
• Υπάρχουν δύο δυνατές κινήσεις:
  Η ολίσθηση (δεύτερο σχέδιο δίπλα) όπου το αντικείμενο κινείται προς το διπλανό τετραγωνάκι που είναι κενό.
  H υπερπήδηση (τρίτο σχέδιο δίπλα) όπου το αντικείμενο κινείται προς το παραδιπλανό κενό τετραγωνάκι, υπερπηδώντας ένα αντικείμενο της άλλης ομάδας που βρίσκεται ενδιάμεσα.

Η σπαζοκεφαλιά δυσκολεύει καθώς το πλήθος των αντικειμένων αυξάνει. Ας "δυσκολέψετε" λοιπόν τα πράγματα παίρνοντας 5 αρνιά και 5 κατσίκια.

Καλείστε επίσης να ανακαλύψετε μια ενιαία στρατηγική για την επίλυση του προβλήματος, ανεξάρτητη από το πλήθος των αντικειμένων, αλλά και να βρείτε κάποια σχέση ανάμεσα στο πλήθος των κινήσεων που απαιτούνται και στο πλήθος των αντικειμένων.

Λύση

Αρχή της σελίδας

Ο ελέφαντας και το ποντίκι στην τραμπάλα

Μπορούν ένας ελέφαντας και ένα ποντίκι να κάνουν τραμπάλα;

Μα και βέβαια μπορούν!

Γιατί όπως αποδεικνύουμε, ΕΝΑΣ ΕΛΕΦΑΝΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΑ ΠΟΝΤΙΚΙ ΕΧΟΥΝ ΠΑΝΤΑ ΤΟ ΙΔΙΟ ΒΑΡΟΣ!:

Απόδειξη

Ας πούμε ε το βάρος του ελέφαντα και π το βάρος του ποντικιού.

Το μέσο βάρος τους θα είναι μ = (ε + π)/2,

από όπου έπονται οι ισότητες ε - 2μ = - π και ε = - π + 2μ.

Αν τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη θα έχουμε διαδοχικά:

ε² - 2εμ = π² - 2πμ

ε² - 2εμ + μ² = π² - 2πμ + μ²

(ε - μ)² = (π - μ)²

ε - μ = π - μ

ε = π

όπερ έδει δείξαι!

...φυσικά υπάρχει κάποιο λάθος στους λογαριασμούς μας, αλλά πού ακριβώς;

Λύση

Αρχή της σελίδας

Κάντε τα όλα ίδια!

Πρόσφατα,είχα την ευκαιρία να παρακολουθήσω το Θερινό Σχολείο Μαθηματικών για Μαθηματικούς, στην Εστία Επιστημών Πάτρας.

Σε μια παρουσίασή τους, κάποιοι μαθητές Λυκείου μας έθεσαν την εξής σπαζοκεφαλιά: Υπήρχε ένας δίσκος που μπορούσε να περιστραφεί και

επάνω του βρίσκονταν 4 καρτέλες, σε 2 γραμμές και 2 στήλες (παρακάτω σχήμα). Κάθε καρτέλα από τη μια μεριά ήταν άσπρη και από την άλλη μαύρη.

Καλούσαν λοιπόν έναν εθελοντή από εμάς, του έκλειναν τα μάτια, τοποθετούσαν με τυχαίο τρόπο τις καρτέλες ώστε άλλες να είναι με την άσπρη

όψη τους και άλλες με την μαύρη και του ζητούσαν να τις κάνει όλες το ίδιο χρώμα, αναποδογυρίζοντας τις καρτέλες κατά την κρίση του. Για να γίνει ακόμα πιο δύσκολη η σπαζοκεφαλιά, κάθε φορά που ο εθελοντής πραγματοποιούσε μια ενέργεια (αναποδογύρισμα 1-4 καρτελών), ένας από τους μαθητές περιέστρεφε τον δίσκο και έτσι ο εθελοντής στην επόμενη κίνηση δεν γνώριζε πού ήταν οι καρτέλες που είχε μόλις αναποδογυρίσει.

Φυσικά, οι κινήσεις του εθελοντή δεν θα πρέπει να γίνουν τυχαία, αλλά με την κατάλληλη στρατηγική, ώστε να είναι σίγουρος, πως όπως και να ήταν η αρχική κατάσταση των καρτελών και ό,τι περιστροφές κι αν έγιναν ενδιάμεσα, κάποια στιγμή θα επιτύχει τον ίδιο χρωματισμό και για τις 4 καρτέλες.

Μπορείτε λοιπόν να βρείτε την σωστή στρατηγική; Πειραματιστείτε με δικές σας καρτέλες ή με την java εφαρμογή εδώ.

Λύση

Αρχή της σελίδας

Εγώ και η αδελφή μου πόσες μπίλιες έχουμε;

Κατά καιρούς, έρχονται μαθητές μου με τη διάθεση να μου βάλουν μικρά έξυπνα προβληματάκια, τις γνωστές σπαζοκεφαλιές. Ευτυχώς και φέτος το έπραξαν αυτό. Επιλέγω λοιπόν να μοιραστώ μαζί σας την σειρά"μπίλιες". Γιατί αυτήν; Γιατί με ζόρισε εξαιρετικά... Έπρεπε να επιστρατεύσω όλη μου τη σοφία στην επίλυση συστήματος εξισώσεων για να απαντήσω. Δεν φαντάζεστε όμως την έκπληξη και χαρά μου όταν ανακάλυψα πως με

πάρα πολύ απλό τρόπο, θα μπορούσα να είχα απαντήσει αμέσως! Σας προκαλώ λοιπόν να ανακαλύψετε κι εσείς τα μυστικά των ωραίων αυτών προβλημάτων...

Τα προβλήματα:

1. Εγώ και η αδελφή μου έχουμε κάποιες μπίλιες η καθεμιά. Αν η αδελφή μου μού δώσει μία μπίλια από τις δικές της, τότε οι νέες μου μπίλιες θα είναι τριπλάσιες από τις νέες της. Αν, αντί να μου δώσει μία μπίλια, της δώσω εγώ μία, τότε οι νέες μου μπίλιες θα είναι ίσες με τις νέες της. Να βρείτε πόσες μπίλιες έχω εγώ και πόσες η αδελφή μου.
2. Εγώ και η αδελφή μου έχουμε κάποιες μπίλιες η καθεμιά. Αν η αδελφή μου μού δώσει μία μπίλια από τις δικές της, τότε οι νέες μου μπίλιες θα είναι διπλάσιες από τις νέες της. Αν, αντί να μου δώσει μία μπίλια, της δώσω εγώ μία, τότε οι νέες μου μπίλιες θα είναι ίσες με τις νέες της. Να βρείτε πόσες μπίλιες έχω εγώ και πόσες η αδελφή μου.
3. Εγώ και η αδελφή μου έχουμε κάποιες μπίλιες η καθεμιά. Αν η αδελφή μου μού δώσει τέσσερις μπίλιες από τις δικές της, τότε οι νέες μου μπίλιες είναι ίσες με τις νέες της. Αν, αντί να μου δώσει τέσσερις μπίλιες, της δώσω εγώ μία, τότε οι νέες της μπίλιες θα είναι διπλάσιες από τις νέες μου. Να βρείτε πόσες μπίλιες έχω εγώ και πόσες η αδελφή μου.
4. Εγώ και η αδελφή μου έχουμε κάποιες μπίλιες η καθεμιά. Αν η αδελφή μου μού δώσει μία μπίλια από τις δικές της, τότε οι νέες της μπίλιες
   είναι τριπλάσιες από τις νέες μου. Αν, αντί να μου δώσει μία μπίλια, της δώσω εγώ μία, τότε οι νέες της μπίλιες θα είναι πενταπλάσιες από τις νέες μου. Να βρείτε πόσες μπίλιες έχω εγώ και πόσες η αδελφή μου.

Η λύση προσεχώς!

Αρχή της σελίδας